home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Libris Britannia 4 / science library(b).zip / science library(b) / ASTRNOMY / HEAT0_1.ZIP / HEAT.DOC < prev    next >
Text File  |  1993-11-10  |  23KB  |  452 lines
  1.                   H E A T    D O C U M E N T A T I O N
  2.  
  3. Description:
  4.  
  5.                 X30/AURORA SPACECRAFT HEAT SHIELD DESIGN
  6.  
  7.   This program designs the heat shield for the X30 Aurora Spacecraft.
  8.   The shield is assumed to be of rectangular shape with square core.
  9.   Simple graphical representation of the steady-state heat distribution
  10.   is provided plus a table of numerical values. The program is adaptable
  11.   to other types of heat shield design problems unrelated to the X30
  12.   problem. Source for unix and DOS targets, GNU license.
  13.  
  14. Copyright: October, 1993 by Bill J. Wigginton, All Rights Reserved.
  15. GNU Licensing agreement: see files 'license.txt' and 'copying.txt'
  16.                          This software with sources may be freely
  17.                          distributed and recompiled subject to the
  18.                          license agreement.
  19.  
  20. mailing address:
  21.                     William R. and Bill J. Wigginton
  22.                     185 N. West Temple #311
  23.                     Salt Lake City, Utah 84103-1562
  24.  
  25. email address  : c-wwj@math.utah.edu (1993) or gustafson@math.utah.edu
  26.  
  27.  
  28. GNU PUBLIC LICENSE.
  29.    This program "HEAT" is released as copyrighted material under the GNU
  30.    PUBLIC LICENSE:
  31.  
  32.                            NO WARRANTY
  33.  
  34.    Because HEAT is licensed free of charge, absolutely no warranty is
  35.    provided, to the extent permitted by applicable state law.  Except
  36.    when otherwise stated in writing, Bill Wigginton provides HEAT "as
  37.    is" without warranty of any kind, either expressed or implied,
  38.    including, but not limited to, the implied warranties of
  39.    merchantability and fitness for a particular purpose.  The entire
  40.    risk as to the quality and performance of the program is with you.
  41.    Should the HEAT program prove defective, you assume the cost of all
  42.    necessary servicing, repair or correction.
  43.  
  44.    In no event unless required by applicable law will Bill Wigginton
  45.    and/or any other party who may modify and redistribute HEAT be liable
  46.    to you for damages, including any lost profits, lost monies, or other
  47.    special, incidental or consequential damages arising out of the use
  48.    or inability to use (including but not limited to loss of data or
  49.    data being rendered inaccurate or losses sustained by third parties
  50.    or a failure of the program to operate with programs not distributed
  51.    by Bill Wigginton ) the program, even if you have been advised of the
  52.    possibility of such damages, or for any claim by any other party.
  53.  
  54. NO COST?
  55.    This program is provided free of charge to individuals and
  56.    educational institutions. Money is not requested.
  57.  
  58.  
  59.  
  60. X30/AURORA SPACECRAFT HEAT SHIELD DESIGN
  61.  
  62.  
  63. PROBLEM:
  64.    Design a heat shield with a liquid core to achieve a given
  65.    heat distribution at equilibrium.
  66.  
  67.    Design parameters are identified and a graphical representation
  68.    of the equilibrium heat distribution is given.
  69.  
  70. Approach:
  71.  
  72.    Take a cross section of the shield at some point of interest. Define
  73.    the shape of the shield in terms of a grid.  (See Figures 1 and 3.)
  74.    Determine boundary point locations and values. Using an iterative
  75.    technique compute the temperature values at the grid points within
  76.    the shield wall until the results are sufficiently accurate.
  77.  
  78.    F I G U R E   1.
  79.    Heat Shield Cross Section
  80.  
  81.                                  150 Degrees
  82.           UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU
  83.           s/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / s
  84.           s / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /s
  85.           s/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / s
  86.           s / / / / / / / / /CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC / / / / / / / / /s
  87.           s/ / / / / / / / / C                  C/ / / / / / / / / s                s|
  88.           s / / / / / / / / /C   -350 Degrees   C / / / / / / / / /s                s|
  89.           s/ / / / / / / / / C                  C/ / / / / / / / / s                s|
  90.           s / / / / / / / / /CCCCCCCCCCCCCCCCCCCC / / / / / / / / /s                s|
  91.           s/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / s
  92.           s / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /s                                                      s|
  93.           s/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / s                                                      s|
  94.           BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
  95.                                  3600 Degrees
  96.  
  97.           U = Upper or top edge temperature
  98.           B = Bottom temperature
  99.           C = Core temperature
  100.           s = Side temperature
  101.           / = Area in which temperatures are computed
  102.  
  103. Example:
  104.    In 1993, NASA is building and designing a "spaceplane".  This is a
  105.    vehicle that can fly in space and also have powered flight including
  106.    take-offs in the atmosphere.  It is called the X30.  An atmoshperic
  107.    only prototype has been named the Aurora.
  108.  
  109.    One problem that is currently being worked on is withstanding the
  110.    heat upon reentry.  Because of the size and weight of the plane its
  111.    under side will remain at extremely high temperatures (3600 degrees
  112.    F.) for an excessive length of time.  The tiles currently used on the
  113.    space shuttle are inade- quate.  A new material must be developed.
  114.  
  115.    To help cool the outer "skin", "cores" containing liquid hydrogen or
  116.    liquid helium will be imbedded in this new material.  The internal
  117.    temperature of these cores is expected to be about -350 degrees F.
  118.  
  119.    This new "skin" or material then must be able to withstand
  120.    temperatures ranging from -350 to +3600 degrees F.  This suggests
  121.    some type of composite or sandwich material.  But before a composite
  122.    can be designed, it is necessary to determine the heat distribution
  123.    in the material.  Thus enters the "Heat Equilibrium" program.
  124.  
  125.    Assuming the cabin temperature must be maintained at 150 degrees F.
  126.    to advoid damaging instruments and people we can design a model as
  127.    follows.
  128.  
  129.    Take a rectangular cross section that contains at its horizontal
  130.    center a cooling core. Using a grid with horizontal and vertical size
  131.    of add integers < 80, scale the section to the grid. Input the
  132.    initial values:
  133.  
  134.       Top temperature = 150 == U
  135.       Core   temperature = -350  == C
  136.       Bottom temperature =  3600 == B
  137.       Percent at bottom temperature =  1
  138.  
  139.    Find the heat distribution at equilibrium in the cross hatched area.
  140.  
  141.    By changing the shape, size and verical location of the core, heat
  142.    stress requirements of the material can be determined.
  143.  
  144.  This plot is a rectangle with a square core.  It doesn't "look" like it
  145.  because the letters are taller than they are wide.  To get a proper
  146.  scale set a printer so that the number of lines per inch are the same
  147.  as the number of characters per inch.
  148.  
  149.  CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
  150.  CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
  151.  CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
  152.  DDCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCDD
  153.  DDDDDDDCCCCCCCCCCCCCCCCCCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCCCCCCCCCCCDDDDDDD
  154.  DDDDDDDDDDDCCCCCCCCCCCCCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCCCCCCDDDDDDDDDDD
  155.  DDDDDDDDDDDDDCCCCCCCCCCCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCCCCDDDDDDDDDDDDD
  156.  EEEDDDDDDDDDDDCCCCCCCCCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCCDDDDDDDDDDDEEE
  157.  EEEEEEDDDDDDDDDCCCCCCCCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCDDDDDDDDDEEEEEE
  158.  EEEEEEEEDDDDDDDDCCCCCCCBBBBBBBBBAAAAAAAAAAAAAAABBBBBBBBBCCCCCCCDDDDDDDDEEEEEEEE
  159.  FFEEEEEEEEDDDDDDDCCCCCCBBBBBBAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBBBBCCCCCCDDDDDDDEEEEEEEEFF
  160.  FFFFEEEEEEEDDDDDDCCCCCCBBBBBAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBBBCCCCCCDDDDDDEEEEEEEFFFF
  161.  FFFFFFEEEEEEDDDDDDCCCCCBBBBAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBBCCCCCDDDDDDEEEEEEFFFFFF
  162.  GFFFFFFEEEEEEDDDDDCCCCCBBBBAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBBCCCCCDDDDDEEEEEEFFFFFFG
  163.  GGFFFFFFEEEEEEDDDDDCCCCBBBAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBCCCCDDDDDEEEEEEFFFFFFGG
  164.  GGGGFFFFFFEEEEEDDDDCCCCBBBAAA                     AAABBBCCCCDDDDEEEEEFFFFFFGGGG
  165.  GGGGGFFFFFFEEEEDDDDCCCCBBBAAA                     AAABBBCCCCDDDDEEEEFFFFFFGGGGG
  166.  HHGGGGGFFFFFEEEEDDDDCCCBBBAAA                     AAABBBCCCDDDDEEEEFFFFFGGGGGHH
  167.  HHHGGGGGFFFFEEEEDDDDCCCBBBAAA                     AAABBBCCCDDDDEEEEFFFFGGGGGHHH
  168.  HHHHGGGGGFFFFEEEEDDDCCCBBBAAA                     AAABBBCCCDDDEEEEFFFFGGGGGHHHH
  169.  IHHHHHGGGGFFFFEEEDDDDCCBBBAAA                     AAABBBCCDDDDEEEFFFFGGGGHHHHHI
  170.  IIHHHHHGGGGFFFFEEEDDDCCCBBAAA                     AAABBCCCDDDEEEFFFFGGGGHHHHHII
  171.  IIIIHHHHGGGGFFFEEEDDDCCCBBAAA                     AAABBCCCDDDEEEFFFGGGGHHHHIIII
  172.  IIIIIHHHHGGGGFFFEEEDDDCCBBAAA                     AAABBCCDDDEEEFFFGGGGHHHHIIIII
  173.  JJIIIIHHHHGGGGFFFEEDDDCCBBAAA                     AAABBCCDDDEEFFFGGGGHHHHIIIIJJ
  174.  JJJIIIIHHHHGGGFFFEEEDDCCBBAAA                     AAABBCCDDEEEFFFGGGHHHHIIIIJJJ
  175.  JJJJIIIIHHHHGGGFFFEEDDDCCBBAA                     AABBCCDDDEEFFFGGGHHHHIIIIJJJJ
  176.  KJJJJIIIIHHHHGGGFFEEEDDCCBBAA                     AABBCCDDEEEFFGGGHHHHIIIIJJJJK
  177.  KKJJJJJIIIHHHHGGGFFEEDDCCBBAA                     AABBCCDDEEFFGGGHHHHIIIJJJJJKK
  178.  KKKKJJJJIIIHHHHGGFFFEEDDCBBAA                     AABBCDDEEFFFGGHHHHIIIJJJJKKKK
  179.  LKKKKJJJJIIIHHHGGGFFEEDDCCBAA                     AABCCDDEEFFGGGHHHIIIJJJJKKKKL
  180.  LLKKKKJJJJIIIIHHGGGFFEEDCCBAA                     AABCCDEEFFGGGHHIIIIJJJJKKKKLL
  181.  LLLKKKKKJJJIIIIHHGGGFFEDDCBAA                     AABCDDEFFGGGHHIIIIJJJKKKKKLLL
  182.  LLLLLKKKKJJJJIIIHHGGFFEEDCBAA                     AABCDEEFFGGHHIIIJJJJKKKKLLLLL
  183.  MMLLLLKKKKJJJJIIIHHGGFFEDDCBA                     ABCDDEFFGGHHIIIJJJJKKKKLLLLMM
  184.  MMMLLLLLKKKKJJJIIIHHGGFFEDCBA                     ABCDEFFGGHHIIIJJJKKKKLLLLLMMM
  185.  MMMMMLLLLKKKKJJJIIIHHGGFEEDBAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABDEEFGGHHIIIJJJKKKKLLLLMMMMM
  186.  NMMMMMLLLLLKKKKJJJIIHHGGFEEDCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCDEEFGGHHIIJJJKKKKLLLLLMMMMMN
  187.  NNNMMMMMLLLLLKKKJJJIIIHHGFFEDDDCCCCCCCCCCCCCCCCCDDDEFFGHHIIIJJJKKKLLLLLMMMMMNNN
  188.  NNNNNMMMMMLLLLLKKKJJJIIHHGGFFEEEEEDDDDDDDDDDDEEEEEFFGGHHIIJJJKKKLLLLLMMMMMNNNNN
  189.  ONNNNNNMMMMMLLLLKKKKJJIIIHHGGGFFFFFFFFFFFFFFFFFFFGGGHHIIIJJKKKKLLLLMMMMMNNNNNNO
  190.  OOONNNNNNMMMMMMLLLLKKKJJJIIHHHHGGGGGGGGGGGGGGGGGHHHHIIJJJKKKLLLLMMMMMMNNNNNNOOO
  191.  OOOOONNNNNNNMMMMMLLLLKKKJJJIIIIIHHHHHHHHHHHHHHHIIIIIJJJKKKLLLLMMMMMNNNNNNNOOOOO
  192.  OOOOOOOONNNNNNNMMMMMLLLLKKKJJJJJJIIIIIIIIIIIIIJJJJJJKKKLLLLMMMMMNNNNNNNOOOOOOOO
  193.  PPPOOOOOOOOONNNNNNMMMMMLLLLLKKKKKKKKJJJJJJJKKKKKKKKLLLLLMMMMMNNNNNNOOOOOOOOOPPP
  194.  PPPPPPPOOOOOOOOONNNNNNMMMMMMLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLMMMMMMNNNNNNOOOOOOOOOPPPPPPP
  195.  PPPPPPPPPPPPOOOOOOOOONNNNNNNMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMNNNNNNNOOOOOOOOOPPPPPPPPPPPP
  196.  QQQPPPPPPPPPPPPPPPOOOOOOOOOONNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNOOOOOOOOOOPPPPPPPPPPPPPPPQQQ
  197.  QQQQQQQQQQQQPPPPPPPPPPPPPPPPOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOPPPPPPPPPPPPPPPPQQQQQQQQQQQQ
  198.  QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ
  199.  QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ
  200.  
  201.  With convergence value =     1.00000E-01 convergence
  202.  was achieved in   86 iterations.
  203.  
  204.  A ranges from  -350.00000 to  -117.64706
  205.  B ranges from  -117.64706 to   114.70587
  206.  C ranges from   114.70587 to   347.05881
  207.  D ranges from   347.05881 to   579.41174
  208.  E ranges from   579.41174 to   811.76465
  209.  F ranges from   811.76465 to  1044.11755
  210.  G ranges from  1044.11755 to  1276.47046
  211.  H ranges from  1276.47046 to  1508.82336
  212.  I ranges from  1508.82336 to  1741.17627
  213.  J ranges from  1741.17627 to  1973.52917
  214.  K ranges from  1973.52917 to  2205.88208
  215.  L ranges from  2205.88208 to  2438.23511
  216.  M ranges from  2438.23511 to  2670.58813
  217.  N ranges from  2670.58813 to  2902.94116
  218.  O ranges from  2902.94116 to  3135.29419
  219.  P ranges from  3135.29419 to  3367.64722
  220.  Q ranges from  3367.64722 to  3600.00000
  221.  
  222. The following is a rectangular core with approximately the same volume
  223. of coolant as the previous model.
  224.  
  225.  CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
  226.  CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
  227.  CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
  228.  DCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCD
  229.  DDDDDDCCCCCCCCCCCCCCCCCCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCCCCCCCCCCCDDDDDD
  230.  DDDDDDDDDCCCCCCCCCCCCCCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCCCCCCCDDDDDDDDD
  231.  DDDDDDDDDDDCCCCCCCCCCCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCCCCDDDDDDDDDDD
  232.  EEEDDDDDDDDDCCCCCCCCCCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCCCDDDDDDDDDEEE
  233.  EEEEEDDDDDDDDCCCCCCCCCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCCCDDDDDDDDEEEEE
  234.  EEEEEEEDDDDDDDCCCCCCCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCCCCCCCDDDDDDDEEEEEEE
  235.  FEEEEEEEDDDDDDDCCCCCCBBBBBBBBBBBBBBAAAAAAAAABBBBBBBBBBBBBBCCCCCCDDDDDDDEEEEEEEF
  236.  FFFEEEEEEDDDDDDCCCCCCBBBBBBBBBAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBBBBBBBCCCCCCDDDDDDEEEEEEFFF
  237.  FFFFFEEEEEDDDDDDCCCCCBBBBBBBAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBBBBBCCCCCDDDDDDEEEEEFFFFF
  238.  GFFFFFEEEEEDDDDDCCCCBBBBBBAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBBBBCCCCDDDDDEEEEEFFFFFG
  239.  GGFFFFFEEEEEDDDDCCCCBBBBBAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBBBCCCCDDDDEEEEEFFFFFGG
  240.  GGGFFFFFEEEEEDDDDCCCBBBBAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBBCCCDDDDEEEEEFFFFFGGG
  241.  GGGGGFFFFEEEEDDDDCCCBBBAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBCCCDDDDEEEEFFFFGGGGG
  242.  HGGGGGFFFFEEEEDDDCCCBBBAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABBBCCCDDDEEEEFFFFGGGGGH
  243.  HHHGGGGFFFFEEEDDDCCCBBAAA                             AAABBCCCDDDEEEFFFFGGGGHHH
  244.  HHHHGGGGFFFEEEEDDCCCBBAAA                             AAABBCCCDDEEEEFFFGGGGHHHH
  245.  IHHHHGGGFFFFEEEDDDCCBBAAA                             AAABBCCDDDEEEFFFFGGGHHHHI
  246.  IIHHHHGGGFFFEEEDDDCCBBAAA                             AAABBCCDDDEEEFFFGGGHHHHII
  247.  IIIHHHHGGGFFFEEEDDCCBBBAA                             AABBBCCDDEEEFFFGGGHHHHIII
  248.  IIIIHHHHGGGFFFEEDDCCCBBAA                             AABBCCCDDEEFFFGGGHHHHIIII
  249.  JJIIIHHHGGGFFFEEEDDCCBBAA                             AABBCCDDEEEFFFGGGHHHIIIJJ
  250.  JJJIIIHHHGGGFFFEEDDCCBBAA                             AABBCCDDEEFFFGGGHHHIIIJJJ
  251.  JJJJIIIHHHGGGFFEEDDCCBBAA                             AABBCCDDEEFFGGGHHHIIIJJJJ
  252.  KJJJJIIIHHHGGGFFEEDDCBBAA                             AABBCDDEEFFGGGHHHIIIJJJJK
  253.  KKJJJJIIIHHHGGFFEEDDCCBAA                             AABCCDDEEFFGGHHHIIIJJJJKK
  254.  KKKJJJJIIIHHGGGFFEEDCCBAA                             AABCCDEEFFGGGHHIIIJJJJKKK
  255.  LKKKJJJJIIIHHGGGFFEDDCBAA                             AABCDDEFFGGGHHIIIJJJJKKKL
  256.  LLKKKJJJJIIIHHGGFFEEDCCBA                             ABCCDEEFFGGHHIIIJJJJKKKLL
  257.  LLLKKKKJJJIIIHHGGFFEEDCBA                             ABCDEEFFGGHHIIIJJJKKKKLLL
  258.  LLLLKKKKJJJIIIHHGGFFEDCBAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABCDEFFGGHHIIIJJJKKKKLLLL
  259.  MLLLLKKKKJJJIIIHHGGFFEDCBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBCDEFFGGHHIIIJJJKKKKLLLLM
  260.  MMMLLLLKKKJJJIIIHHGGFFEDDCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCDDEFFGGHHIIIJJJKKKLLLLMMM
  261.  MMMMLLLLKKKKJJJIIHHHGGFEEEDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDEEEFGGHHHIIJJJKKKKLLLLMMMM
  262.  NMMMMMLLLLKKKJJJIIIHHGGFFFEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEFFFGGHHIIIJJJKKKLLLLMMMMMN
  263.  NNNMMMMLLLLKKKKJJJIIIHHGGGGFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFGGGGHHIIIJJJKKKKLLLLMMMMNNN
  264.  NNNNMMMMMLLLLKKKKJJJIIIHHHHGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGHHHHIIIJJJKKKKLLLLMMMMMNNNN
  265.  ONNNNNMMMMMLLLLKKKKJJJIIIIIHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHIIIIIJJJKKKKLLLLMMMMMNNNNNO
  266.  OOONNNNNMMMMMLLLLLKKKKJJJJIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIJJJJKKKKLLLLLMMMMMNNNNNOOO
  267.  OOOOONNNNNNMMMMMLLLLLKKKKKJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJKKKKKLLLLLMMMMMNNNNNNOOOOO
  268.  OOOOOOONNNNNNNMMMMMLLLLLLKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKLLLLLLMMMMMNNNNNNNOOOOOOO
  269.  PPOOOOOOOOONNNNNNNMMMMMMLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLMMMMMMNNNNNNNOOOOOOOOOPP
  270.  PPPPPPOOOOOOOOONNNNNNNNMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMMNNNNNNNNOOOOOOOOOPPPPPP
  271.  PPPPPPPPPPPOOOOOOOOOONNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNOOOOOOOOOOPPPPPPPPPPP
  272.  QQPPPPPPPPPPPPPPPPOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOPPPPPPPPPPPPPPPPQQ
  273.  QQQQQQQQQQQPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPQQQQQQQQQQQ
  274.  QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ
  275.  QQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQ
  276.  
  277.  With convergence value =     1.00000E-01 convergence
  278.  was achieved in   82 iterations.
  279.  
  280.  A ranges from  -350.00000 to  -117.64706
  281.  B ranges from  -117.64706 to   114.70587
  282.  C ranges from   114.70587 to   347.05881
  283.  D ranges from   347.05881 to   579.41174
  284.  E ranges from   579.41174 to   811.76465
  285.  F ranges from   811.76465 to  1044.11755
  286.  G ranges from  1044.11755 to  1276.47046
  287.  H ranges from  1276.47046 to  1508.82336
  288.  I ranges from  1508.82336 to  1741.17627
  289.  J ranges from  1741.17627 to  1973.52917
  290.  K ranges from  1973.52917 to  2205.88208
  291.  L ranges from  2205.88208 to  2438.23511
  292.  M ranges from  2438.23511 to  2670.58813
  293.  N ranges from  2670.58813 to  2902.94116
  294.  O ranges from  2902.94116 to  3135.29419
  295.  P ranges from  3135.29419 to  3367.64722
  296.  Q ranges from  3367.64722 to  3600.00000
  297.  
  298. NOTE:
  299.  
  300.   Lest one think that the problem is solved, there are other
  301.   considerations. The core temperature will rise over distance. The
  302.   speed of the coolant may create enough friction to raise the
  303.   temperature. The internal pressure must be considered.  The length of
  304.   the cooling cores must be optimized.  The number and size of the
  305.   compressors. The size, shape and number of cores must be optimized.
  306.   The expansion and contraction of the "skin". Heat distribution is
  307.   simply one piece of a very large problem. The greatest problem is
  308.   developing the material itself.
  309.  
  310. Mathematical Overview:
  311.  
  312.    F I G U R E   2.
  313.    Heat Shield Profile with Liquid Core
  314.  
  315.      Top Edge Temperature
  316.     ____________________
  317.    |                    |Side
  318.    |       ______       |Temperature
  319.    |      | Core |      |
  320. ~~~|~~~~~~|~Temp~|~~~~~~|~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
  321.    |      |______|      |Bottom               portion of surface kept
  322.    |                    |Temperature          at Bottom Temperature
  323.    |____________________|                   _____________________
  324.  
  325.  
  326.  
  327.    F I G U R E   3.
  328.    Heat Shield Profile Defined on a Grid
  329.  
  330.                    C O L U M N S
  331.  
  332.             1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11
  333.  
  334.         1   U  U  U  U  U  U  U  U  U  U  U   Top
  335.         2   s  i  i  i  i  i  i  i  i  i  s
  336.         3   s  i  i  i  i  i  i  i  i  i  s   Side
  337.    R    4   s  i  i  C  C  C  C  C  i  i  s
  338.    O    5   s  i  i  C           C  i  i  s
  339.    W    6   B  i  i  C           C  i  i  B ~~~~~~~~~~~~~~~~~~
  340.    S    7   B  i  i  C           C  i  i  B           Percent
  341.         8   B  i  i  C  C  C  C  C  i  i  B           kept at
  342.         9   B  i  i  i  i  i  i  i  i  i  B   Bottom  bottom
  343.        10   B  i  i  i  i  i  i  i  i  i  B           temperature
  344.        11   B  B  B  B  B  B  B  B  B  B  B __________________
  345.  
  346.  
  347.        U = Top    boundary points (user supplied)
  348.        B = Bottom boundary points (user supplied)
  349.        C = Core   boundary points (user supplied)
  350.        s = Side   boundary points (computed)
  351.        i = Points within the wall (or the domain) that are computed
  352.  
  353. Basic Equation:
  354.  
  355.    Read Uxx as the second partial derivative of T with respect to x.
  356.    Read T[new](i,j) as the new value of T at point (i,j).
  357.    [...] = superscript, (...) = subscript in this usage.
  358.  
  359.    The heat gradient at equilibrium is described by the Laplace Equation
  360.  
  361.       Uxx + Uyy = 0
  362.  
  363.    where T is the temperature at any point (x,y) in the domain. The
  364.    Laplace Equation (a special case of the Poisson Equation) can be
  365.    solve iteratively by an accelerated Gauss-Seidel method
  366.  
  367.       T[new](i,j) = aT[avg](i,j) + (1-a)T[old](i,j) where
  368.       T[avg](i,j) = .25 * ( T[new](i-1,j) + T[new](i,j-1) +
  369.                             T[old](i+1,j) + T[old](i,j+1) )
  370.       T[...](i,j) is the temperature at point (i,j)
  371.       i,j are row and column values within the defining grid (See Figure 3.)
  372.       a is an acceleration factor between 1 and 2
  373.  
  374. Domain:
  375.  
  376.    The domain of the solution method is bounded externally by the shield
  377.    shape and is bounded internally by the shape and location of the
  378.    core. That is the i's in Figure 3 are the domain. Points outside the
  379.    shield boundary are not defined and hence not computed. The same is
  380.    true of the points within the core.
  381.  
  382. Shape:
  383.  
  384.    The shape is defined on a 79 x 79 grid. The external shape of the
  385.    shield and the shape and location of the core is specified by the
  386.    user. The shapes may be a square, circle or rectangle. The shield
  387.    shape begins at (1,1).  The internal shape location is normally
  388.    centered within the shield but may be moved by the user. The size of
  389.    the shape, in our example (Figure 3) an 11 x 11 square shield with a
  390.    5 x 5 core is controlled by the user and cannot be larger than the
  391.    basic grid. The shape of a circle is approximated by asking for is
  392.    diameter. The boundary points are then calculated by:
  393.  
  394.       1.  Determining the center of the circle.
  395.  
  396.       2.  Calculating a boundary row and column for each row in the
  397.           top left quadrant using r*r = x*x + y*y.
  398.  
  399.       3.  Since circles are symmetric the boundary points of the other
  400.           three quadrants are determined from the first quadrant values.
  401.  
  402.       Define:
  403.       row,col  = a boundary point within the grid
  404.       colm = mirror image of col about the center column
  405.       rowm = mirror image of row about the center row
  406.       d  = diameter of the circle
  407.       rc = center row    for the circle
  408.       cc = center column for the circle
  409.       r  = radius
  410.       x  = 1/2 the chord length for the row in question
  411.       y  = integer 1 to rc
  412.  
  413.       1.  rc = (d-1)/2;  cc = (d-1)/2
  414.       2.  for y = 1 to rc
  415.           x    = sqrt(r*r-y*y) rounded to the nearest integer
  416.           col  = xc-x
  417.           row  = rc - y
  418.       3.  for y = 1 to rc
  419.           colm = d-col+1
  420.           rowm = d-row+1
  421.           boundary points are
  422.           for top    left  quadrant = row, col
  423.           the top    right quadrant = row, colm
  424.           the bottom left  quadrant = rowm,col
  425.           the bottom right quadrant = rowm,colm
  426.  
  427. Boundary Values:
  428.  
  429.    All external surface and internal core values (U,B and C) are
  430.    specified by the user.  (See Figure 3.) The points s are a linear
  431.    extrapolation between the upper and lower boundary points.
  432.  
  433.       prcnt = percent of the shield surface held at the bottom temperature;
  434.       incr  = temperature increment;
  435.       row   = row number;
  436.       N     = total number of rows
  437.       n     = number of rows not immersed
  438.       r     = row being processed
  439.       s(r)  = value of s on row r;
  440.  
  441.       n       = (1 - prcnt) * N  rounded to the nearest integer
  442.       incr    = (U - B) / n
  443.       s(1)    = U
  444.       for r = 2 to n
  445.       s(r)  = s(r-1) + incr
  446.  
  447.    The points i within the domain are given an initial value equal to
  448.    the value of the boundary points for that row.
  449.  
  450.       i(r) = s(r) or
  451.       i(r) = B    for all valid columns on row r.
  452.